העברה ספרתית של אותות

כתיבה 9 ד"ר דן רפאלי עריכה 9 אוהד וולבוביץ תקציר הרצאות מהדורה 1 )תשע"א, 2011( בביליוגרפיה: John G. Proakis: Digital Communications, 4 th ed, McGraw-Hill, 2001 John R.Barry, Edward A. Lee, David G. Messerschmitt: Digital Communication, 3 rd ed, 2004 Cioffi Notes כל הזכויות שמורות לדר' דן רפאלי ואוהד וולבוביץ. אין לצלם, לשכפל, להעתיק בכל צורה שהיא חוברת זו או חלקים ממנה ללא קבלת אישור מהם בכתב.

תקציר הנושאים 6 1. חזרה על נושאים נבחרים בתקשורת ספרתית 23 * חסמים מתורות האינפורמציה תקשורת דרך ערוץ לינארי בעל רעש גאוסי חיבורי * בעיית האקווליזציה )טיפול ב- )ISI פתרונות אופטימליים )MLSE( ופתרונות תת.2 אופטימליים במקלט.)LE,DFE( 84 * ניתוח הסברות השגיאה עבור מקלט MLSE.3 טיפול בבעית ה- ISI במשדר (THP) Tomlinson-Harashima Precoding 89.4 שערון ערוץ, - Adaptive Equalization אלגוריתם,LS שיטת Steepest Descent ואלגוריתם LMS 97 OFDM עקרונות ומבנה.5 2

תוכן עניינים 6 6 7 8 11 11 13 14 17 12 נושאים נבחרים בתקשורת ספרתית עקרון ההפרדה ערוץ לינארי Shannon Bound בשידור ספרתי ו- Bit Error Rate (BER) מקלט אופטימלי לערוץ (AWGN) Additive White Gaussian Noise ללא (ISI) Inter Symobl Interference מקלט מבוסס קורלציה מקלט מבוסס (MF) Matched Filer 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 מקלט אופטימלי וקריטריון Minimum Euclidean Distance הסתברות שגיאה )BER( בערוץ AWGN חסמים על הסתברות השגיאה עבור M אותות 1.8 1.9 1 11 Coding Gain 1.10 32 12 17 21 24 תקשורת דרך ערוץ לינארי הצגת בעיית האקווליזציה וסוגי המשוונים Feedback( (MLSE, Linear, Decision תכנון אות לערוץ מוגבל רוחב סרט 2.1 2.2 2.3 קיבול ערוץ לינארי AWGN 2.3.1 הקצאת הספק בערוץ Pouring Water 2 26 2.4 מקלט אופטימלי לערוץ AWGN עם ISI 28 28 33 והקשר ל- MF Whitened Matched Filter (WMF) 2.4.1 2.4.2 פירוק ספקטראלי Factorization( (Spectral 2.5 פתרון אופטימלי לבעיית האקווליזציה 35 2.6 משוון )MLSE) Maximun Likelihood Sequence Estimation 35 37 38 Fractional Spaced Equalizer (FSE) 2.6.1 פענוח בעזרת Viterbi Algorithm 2.6.2 בעיית האקווליזציה בצורת עקום Trellis 2.6.3 דגימה בקצב גבוה מקצב הסימבולים 3

42 41 43 45 2.6.4 חסמים להסתברות השגיאה למשוון MLSE ניתוח הסתברות השגיאה עבור משוון MLSE Matched Filter Bound (MFB) 2.6.5 2.6.6 Linear Equalization 2.7 46 Infinite Zero Forcing Linear Eq. 2.7.1 קריטריון Peak Distortion 47 2.7.2 חישוב SNR במוצא המשוון 52 52 54 56 62 2.7.3 קריטריון (MMSE) Minimum Mean Square Error Eq. Infinite MMSE Linear פתרון עפ"י מסנן Wiener )שאינו סיבתי( השוואה בין משוון בעל הטייה )Biased( וללא הטייה )Unbiased( Finite MMSE Liner Eq. 2.7.4 2.7.5 2.7.6 Decision Feedback Equalization (DFE) 2.8 61 65 66 71 Infinite Zero Forcing DFE Eq. WMF ללא שימוש במודל Zero Forcing DFE Eq. Cioffi פתרון עפ"י Infinite MMSE DFE Eq. Finite MMSE DFE Eq. 2.8.1 2.8.2 2.8.3 2.8.4 84 87 Tomlinson Harashima Precoding 3.1 הפסדים ב- THP 3 89 Adaptive Equalization ושערוך ערוץ 4 82 81 84 4.1 שערון ערוץ אלגוריתם (LS) Least Squares Steepest Descent Method 4.2 LMS Algorithm 4.3 4

97 86 87 88 121 121 123 124 126 128 Orthogonal Frequencey Division Multiplexing FDM 5.1 5.2 מאפנן )Modulator( OFDM 5.3 ניתוח הספקטרום 5.4 מימוש דיגיטלי 5.5 השפעות הערוץ והוספת Cyclic Prefix 5.6 בחירת פרמטרים בתכנון מערכת OFDM 5.7 שיטות להתמודדות עם Frequency Selective Fading 5.8 בעיית Peak To Average ושיטות להתמודדות.5 9 שערוך ערוץ בשיטות שונות 9 למשל ע"י Pilots 5 * הערות סימון 9 א. משתנה מודגש בביטיים לאורך חוברת זו מייצג וקטור. ב. סוגריים עגולים מציינים זמן רציף, סוגריים מרובעים מציינים זמן דיסקרטי. ג. מטריצה הרמיטית )כלומר משוחלפת צמודה( תסומן ע"י. A H 5

פרק 1 נושאים נבחרים בתקשורת ספרתית 1.1 עקרון ההפרדה דוגמא מעשית: טלפון סלולרי מבנה הרשת: מה יש בתוך הטלפון: ברצוננו לשדר סיגנל אנלוגי, לדוגמא: אות הדיבור. הסיגנל אשר נשלח לערוץ מהאנטנה גם הוא אנלוגי. אפנון אנלוגי ייקח את המקור האנלוגי, יאפנן וישלח: 6

עקרון ההפרדה - נעדיף להפוך קודם את אות המקור לסיגנל ספרתי )ADC( ואח"כ נשדר את הסיגנל הספרתי באפנון ספרתי Modulator(.)Digital + בשפת תורת האינפורמציה: קידוד ערוץ קידוד מקור שנון הראה שאם מבצעים את האופטימיזציה בנפרד, כלומר קידוד מקור הכי טוב שאפשר וקידוד 1 ערוץ הכי טוב שאפשר, לא מפסידים יחסית לקידוד מקור וערוץ במשותף. 1 עבור ערוץ ארגודי, סטציונארי, וחסר זכרון וללא הגבלת השהיה או סיבוכיות. 7

1.2 ערוץ לינארי הגדרה: ערוץ לינארי הינו ערוץ שבו על הכניסה פועלת מערכת תמסורת לינארית )TI ונוסף רעש )לרוב גאוסי ולבן(. )לרוב קבועה בזמן nt xt ht yt דוגמאות:.1 ערוץ Multi path δ(t) h(t) t ADSL שידור אינפורמציה ספרתית על גבי חוטים מהבית למרכזיית הטלפונים. החוטים ידועים בשם TWISTED PAIR שהם זוג חוטים מוצלבים. ההצלבה תורמת למניעת הפרעות לסביבה וממנה..2 ערוץ ה TWISTED PAIR מנחית תדרים גבוהים. הניחות עולה לפי. להלן תגובת התדר של הערוץ: H(f) f 8

Shannon Bound בשידור ספרתי ו- BER 1.3 הגדרה: (BER) - Bit Error Rate סיכוי השגיאה הממוצע במוצא המערכת. נתונה מערכת התקשורת הבאה )דיאגרמת בלוקים(: ECC R האם הביטים יגיעו ללא שגיאות? משפט הקיבול של שנון: תחת תנאים מסויימים, לכל ערוץ קיים קצב ביטים C שעבורו קיים קוד ואפנן באורך כך שאם נשדר בקצב נפענח את הקוד ללא שגיאות. עבור n סופי ניתן רק להתקרב ל C. ככל ש: n גדל כך נוכל להתקרב ל C.. / 0 1 עבור ערוץ :AWGN )1.1( S הספק האות הנקלט. B. הספק הרעש בכניסת המקלט הנמדד ברוחב סרט המידע N B רוחב הסרט. גודל בעל חשיבות בתקשורת ספרתית ומהווה SNR מנורמל הוא זמן שידור ביט R קצב המידע. S הספק השידור. B רוחב סרט השידור. הקיבול מהווה חסם על הקצב האפשרי: )1.2( מכאן נקבל חסם על ה רואים שהערך המינימלי יורד ככל שרוחב הסרט עולה. 9

עבור רוחב סרט אינסופי: יעילות ספקטרלית R W R B UNC,QPSK -1.6db UNC, BPSK 10 9db 5 E d N0 db ציור - 1 QPSK Normalized SNR for 10

1.4 מקלט אופטימלי לערוץ AWGN ללא ISI נניח משדר שמשדר אינפורמציה ע"י M סיגנלים אפשריים ) ביטים ( נניח שהסיגנלים משדורים בזמן. לסיגנלים נוסף רעש לבן בצפיפות. הסיגנל הנקלט הוא: נמצא בסיס של N פונקציות אורתונורמליות +( ( * שפורסות את מרחב הסיגנל, כלומר כל ) ( הוא קומבינציה לינארית של ) ( -ים. תכונת האורתונורמליות מוגדרת ע"י 2 )3.1( חשוב לשים לב כי הבסיס האורתונורמלי שמצאנו אינו פורס את הרעש אך כפי שראינו בקורס תקשורת ספרתית, רכיבי הרעש שאינם נפרסים ע"י הבסיס אינם רלוונטיים להחלטה. 11

1.5 מקלט מבוסס קורלציה : נעביר את r(t) דרך מערך מסננים שהינם קורלטורים עם ) ( כאשר:. הם מ"א גאוסיים בת"ס עם תוחלת ווריאנס טענה: הווקטור מייצג באופן מלא את r(t) לצורך הגילוי. נגדיר את רכיב הרעש אשר אינו נפרס ע"י הבסיס: )3.1( - מייצג את שארית הרעש שלא מיוצג על ידי. ניתן לראות ש חסרי קורלציה, וכן ) ( רלוונטי לגילוי הסיגנל. חסר קורלציה עם ועם הסיגנל המשודר ולכן לא. מסקנה: נוכל לבצע החלטה שמבוססת על: + * 12

דוגמא: נניח קונסטלציית BPSK עם Pulse shpae מלבני: g(t) a T t האנרגיה בפולס היא:. יש רק פונקציית בסיס אחת 1=N )האותות אנטיפודליים(. { מוצא הקולרטור: ) ( האותות הינם: ) ( ) ( : אז: עבור שידור של ) ( 6 7 13

1.6 מקלט מבוסס (MF) Matched Filer במקום מערך של קורלטורים ניתן לייצר את באמצעות N מסננים לינאריים. תגובת ההלם של המסננים: ) ( h 1 t y 1 t r t h k t y k t h N t y N t ציור - 2 Filter Matched )3.1( נדגום את ) ( בזמן t=t נקבל: את חלק הסיגנל וחלק הרעש תכונות :MF אם 1=N נסמן מתוך ) ( [ ] יחס אות לרעש במוצא ה :MF )1.6( טענה: עבור אות s(t) בערוץ,AWGN המסנן המתואם )לאות( משיג SNRמקסימלי במוצא. ה- SNR במוצא ה MF הוא כאשר, ) ( הוכחה: T j2 ft 2 j2 ft j2 ft 2 2 s tt Parseval 0 y t Y f e df S f e e df S f df S t dt E 2 N0 2 N0 2 N0 nout 2 2 2 S ( f ) H ( f ) S( f ) df E nout SNR out 2 E 2E N0 E N0 2 14

1.7 מקלט אופטימלי וקריטריון Minimum Euclidean Distance נניח ששודר ) ( והמקלט חישב את + *. נניח ערוץ חסר זכרון, כלומר לא תלוי בשידורים של סיגנלים קודמים. נניח ששודרו סיגנלים ) ( בלתי תלויים. מקלט שיביא את הסתברות השגיאה למינימום הוא מקלט הסתברות המירבית, כלומר קריטריון - (MAP).Maximum Apostrioiri Probability )1.7( טרמינולוגיה: עבור הסתברויות אפריוריות שוות, נקבל מקלט : maximum likelihood 15

קריטריון 9min Euclidean Distance עבור ערוץ :AWGN ( ) )1.8( כדי לחשב את המקסימום אפשר להוציא ) ( )כיוון שזו פונקציה מונוטונית עולה(. ( ) ( ) מרחק אוקלידי המקלט יבחר את האות בעל המרחק האוקלידי המינימלי לאות הנקלט. ניתן לראות כי מתקיים: ( ) )1.9( )2-PAM(.BPSK דוגמא: נניח שידור בקונסטלציית Pulse shape - אנרגיית הביט: ) ( ( ) נניח הסתברויות אפריורית שוות ולכן קריטריון :ML מתלכד עם קריטריון MED באופן שקול, מעגל ההחלטה )Slicer( 16

נוציא :ln ( ) ( ) ( ) ( ) r t MF 0 17

1.8 הסתברות שגיאה )BER( בערוץ AWGN. נניח שני סיגנלים אפשריים ) ( המשודרים בהסתברות שווה: נפעיל גלאי,ML מהי הסתברות השגיאה?. / עפ"י הזהות:. /. /, - קיבלנו מ"א גאוסי בעל הפילוג הבא:, - הסתברות השגיאה היא ההסתברות ש : 4 ( ) 5 4 ( ) 5 ( ) :BPSK דוגמאות:.1 )BFSK 2. שידור בי-אורתוגונאלי )שני אותות אורתוגונליים זה לזה למשל,)PPM( a S 1 t T a t S 2 T 18

נשתמש באותות עצמם כבסיס כאשר הם מנורמלים לאנרגיית יחידה: f 1 t 2 T T f 2 t 2 T T לכן, ] [ ] [ המרחק האוקלידי: ) ( ( הסתברות השגיאה: ) ( ) שידור אורתוגונלי כמתואר בדוגמא מספר 2 דורש P e OrthogonalSignals BFSK P e BPSK מסקנה: הספק גבוה ב- 3dB מאשר BPSK ע"מ להשיג אותה הסתברות שגיאה. 19

M אותות 1.9 חסמים על הסתברות השגיאה עבור lower bound 1.8.1 חסם תחתון -. טענה: אם מאורעות A,B,C יכולים להתקיים: ) ( באופן כללי אם יש N מאורעות מאורע יחיד מתוך הקבוצה. )1.10( ההסתברות למאורע האיחוד בהכרח גדולה )או שווה( לזו של ( ) נניח ששודר סיגנל, נסמן את המאורע שבו לסיגנל m יש likelihood גבוה יותר מלסיגנל n ב ).( Pairwise Error Probability נסמן את ההסתברות למאורע זה: ) ( זו למעשה ההסתברות לשגיאה אילו רק שני סיגנלים היו יכולים להיות משודרים. ההסתברות שלסיגנל כלשהו likelihood גבוה יותר היא: ( ) ( ) )1.11( 1.8.1 חסם עליון Upper bound וחסם האיחוד bound( (Union טענה: ) ( לכן, ( ) )1.12( דוגמא נחשב הסתברות שגיאה לקונסטלציית.L-PAM כיוון שהאותות המשודרים נבדלים זה מזה אך ורק בקבוע, נדרשת פונקציה יחידה בבסיס, כלומר 1=N. צורת הפולס אינה חשובה. נבחן מקרה פרטי ובו גודל הא"ב הינו 4=L. * + 4 5 נניח שודר 3- : 4 5 במקרה זה החסם אינו תלוי במה ששודר. 20

חסם האיחוד לעומת זאת, תלוי באות ששודר: 4 5 4 5 4 5 ( ) ( ) )1.13( 21

Coding Gain 1.10 נבצע השוואה בין מערכת לא מקודדת ומערכת מקודדת: R E b N 0 BER U ציור 3 מערכת לא מקודדת R E S N 0 BER S BER C ציור 4 מערכת מקודדת קצב הביטים קצב הסימבולים הסתברות שגיאה במוצא הקוד: /. /. נגדיר נקודת BER דרושה Pb ואז: )1.14( ציור 5 המערכת אילוסטרציה של coding gain UnCoded Coded Shannon 22

פרק 3 תקשורת דרך ערוץ לינארי הקדמה בפרק זה נדון בתקשורת דרך ערוץ לינארי כללי. נסקור תחילה את עקרונות האקווליזציה, נמשיך בקיבול הערוץ ונציג את מבנה המקלט האופטימלי ופתרונות תת אופטימליים שלו. 2.1 הצגת בעיית האקווליזציה וסוגי המשוונים ( (MLSE, Linear, Decision Feedback מבנה מערכת תקשורת (דיאגרמת בלוקים) : Up Converter RF front end (pulse ) shape Anti aliasing IF A/D נשים לב כי ע"מ לשדר את המידע אנו מעבירם אותו דרך Pulse shape בתחום ה Baseband - ולאחר מכן מעלים אותו על תדר נושא כדי לשלוח בערוץ. באופן דומה במקלט האות הנקלט עובר תחילה down convert אל BB חזרה. מודל מתמטי (נניח מודולציה לינארית) Pulse PulseShape Slope Decoder gr t Equalizer fs c t g t t an n t 1 אם נקבע את תדר הדגימה להיות תדר הסימבולים, כלומר Ts, f s נקבל.)SSE( Symbol Spaced Eq. תכונות ה :SSE - אם ) ( הוא MF והתזמון נכון אין ירידה בביצועים (נוכיח זאת בהמשך) למרות שמשפט הדגימה אינו מתקיים כי איננו דוגמים בקצב שגדול מפעמיים רוחב הסרט, ויש.aliasing מעשית ) ( הינו קירוב ל MF ויש ירידה בביצועים (תלוי בערוץ וב )pulse shape בד"כ.1-3 db יש רגישות לפאזות תזמון. 23

להלן EYE DIAGRAM המראה את חשיבות תזמון נקודת הדגימה: ציור 6 א' דיאגרמת עין בזמן במישור התדר: Aliasing 1 T ציור 6 ב' דיאגרמת עין בתדר אם נדגום בזמן הנכון השכפולים יתווספו בצורה "נכונה", אחרת בצורה שגויה. בעיית האקווליזציה: פתרון הבעיות הנוצרות מהעיוות הלינארי של הערוץ ופענוח הסימבולים ששודרו. DFE MLSE RLS LMS 24

a n t ht 2.1.1 משוון לינארי Eq.Linear מימוש אנלוגי )נסמן את המשוון במישור הרציף כ- :)w(t) nt? wt aˆ n t h( t) g ( t)* c( t) T כלומר, נאחד את ) ( למסנן אחד ) ( )Zero forcing(? מהו ) ( א. פתרון אפשרי הינו היפוך המסנן: ) ( nt מימוש ספרתי: FIR ht g r t w k f s 1 T בעיית :Noise enhancement כאשר הערוץ השקול - h(t) מקבל ערכים קטנים ובמקרה קיצוני אף מתאפס, המשוון ינסה לפצות על כך בהגבר ששואף לאינסוף. לפיכך הרעש יוגבר בצורה הרסנית וה- SNR ישאף ל- 0. Wf MMSE f ציור 7 רעש הנגרם כתוצאה מהמסנן W(f) 25

הרעש עובר דרך המסנן ) ( מוגבר. תופעה זו נקראת ובמידה ו H(f) מנחית, ) (. מגביר, כלומר הרעש. אם ) ( ייתכן 2 0( ) 13 MMSE Linear Eq. ב. פתרון נוסף הינו )2.0.3( אם אורך האקווליזר אינסופי )מספר המקדמים אינו מוגבל( הפתרון מתקבל ע"י מסנן :Wiener 0 1 )2.0.2( ה MMSE מייצר פשרה בין מידת ה ומידת ה ISI השיורי. נבחן מקרי קצה: E[ I ] H( f ) 2 2 2 n תחת SNR גבוה )רעש נמוך(, נסיק כי עדיף לטפל ב ISI ואכן מתקבל פתרון ה-.Zero forcing.1 [ ] E[ I ] H( f ) 2 2 2 n תחת SNR נמוך )רעש גבוה(, ה- ISI זניח ועדיף לממש MF ע"מ להתמודד עם הרעש החיבורי..2 [ ] [ ] Decision Feedback Equalizer (DFE) 2.1.2 מבנה המקלט: 26

* ניתן לשים מוריד קצב כאשר קצב הדגימה גבוה מקצב הסימבולים.FSE תפקיד ) ( הוא לטפל ב precursors כלומר להטיל את מקסימום האנרגיה על ה- Tap הראשון: )מתוך תכונת מקסימום האנרגיה החלקית המתקיימת עבור מע' )min phase hk wk Pre 0 Post - יבטל את ה- ISI הנגרם מה: post cursors )בהמשך נראה כי הפחתת המקדם החופשי נובעת מן העובדה שאת הסימבול הנוכחי כן נרצה להעביר(. יתרונות: DFE לעומת LE ביצועים טובים יותר, ה- DFE מסוגל להתמודד עם מסנן המתאפס בתחום תדר מסוים.Notch חסרונות: Error propagation פעולתו התקינה של ה- DFE הינה בהנחת פענוח נכון של הסימבולים הקודמים לזה הנוכחי עליו נקבל החלטה. שילוב עם קוד לא אופטימלי, או מסובך. דורש החלטה קשה Decision(,)Hard כלומר ביצועים טובים ברמת הסימבולים. אדפטציה איטית יותר. רגישות יותר גבוהה לשגיאות פאזה. רגישות לאדפטציה לא מושלמת. MLSE 2.1.3 הפתרון האופטימלי לגילוי הביטים בערוץ לינארי הוא ה Maximum Likelihood Sequence.Estimator תכונותיו: אופטימלי )במערכת בה פענוח הערוץ מופרד מפענוח הקוד( סיבוכיות אקספוננציאלית באורך הערוץ. קל לשימוש בעזרת שערוך ערוץ, אין צורך בחישובים נוספים. 27

2.2 תכנון אות לערוץ מוגבל רוחב סרט הפרעה בין סימבולים וקריטריון נייקוויסט ל-.ISI=0 הערה: נגביל את הדיון למערכת תקשורת עם אפנון לינארי דו-מימדי. d n I n Pulse Shape g T t v t ct g R t yt nt t KT 0 מוצא המשדר נתון ע"י קונבולוציה: נניח ערוץ ) ( ידוע ומוגבל סרט, כלומר מתקיים: נאחד את 3 המסננים למסנן שקול: FT x( t) g ( t)* c( t)* g ( t) X ( f ) G ( f ) C( f ) G ( f ) T R T R נבחן את הערוץ הרציף השקול: z( t) n( t)* g ( t) R *כאשר מתקיים: לאחר הדוגם: ) ) (( ) ( נסמן: ) ) (( נניח ש ) ( מנורמל כך ש: ולכן: רעש ) 2.3.3( הערה: ISI הוא לא רעש, אם נשתמש באקווליזר נוכל להתמודד איתו אך לרוב תגרם ירידה בביצועים. 28

:ISI=0 קריטריון נייקוויסט תכנון ) ( ל- הנחה: התנאי ל )אחרת נזיז את ) ( בהתאם(. 2 ISI=0 הוא: משפט: התנאי לעיל מתקיים אם ורק אם )תנאי הכרחי ומספיק ) FT /. כאשר: ) f x( t) X ( )2.3.2( הוכחה: נסמן ב ) ( את הדגימה של ) (, כלומר הכפלתו במסרק הלמים במרווח T. לפי משפט הדגימה מתקיים: F* + אם התנאי ל ISI=0 מתקיים: ) ( לכן התמרת פורייה של ) ( היא קבוע.. / xt לכן, -2T -T T 2T t ציור 8 x(t) המתוכנן לפי קריטריון ניקוויסט Xf 1 X f T f ציור X(f) 9 המתוכנן לפי קריטריון ניקוויסט, מסתכם לקבוע 29

דוגמא: Raised Cosine { [ ]} {? כיצד נבחר את מסנן ה-,Pulse Shape כלומר את ) ( נניח שהערוץ אינו מעוות, כלומר ) ( בכל תחום התדר בו נשדר. X ( f ) G ( f ) C( f ) G ( f ) G ( f ) G ( f ) T R T R gt מתוך הקשר בתדר מתקיים: () t נרצה לבחור את g () R כך שיהיה מסנן המתואם ל- t ולכן: ראינו כי עבור מסנן שקול x(t) שהינו Raised Cosine מתקיים תנאי נייקוויסט ל- ISI=0 לכן נבחר: ) ( ) ( (ממשי) 30

מה לגבי הרעש? ISI=0 אזי דגימות הרעש gt () t מסנן המתואם ל- g () R טענה: אם t וכן בת"ס. הוכחה: פונקציית האוטוקורלציה הבדידה של הרעש הדגום הינה דגימות של פונקציית האוטוקורלציה הרציפה של הרעש המקורי )רציף(: R k m E z z E z kt z mt R k m T * * zz[ ] [ k m] [ ] zz (( ) ) הספקטרום של הרעש הרציף לאחר ה- MF ולפני הדוגם )מעבר ת"א דרך מערכת לינארית(: F* + מקיים את תנאי נייקוויסט ולכן ) ( מקיים את התנאי בציר הזמן: 2, - לכן, 31

2.3 קיבול ערוץ לינארי AWGN נתון ערוץ רציף ובו רעש גאוסי חיבורי: nt xt Hf נסמן את ספקטרום האות והרעש: ) ( צורת הערוץ בתדר מתוארת בעקום הבא: Hf f f0 Subband נחלק את ) ( לתתי ערוץ ע"י: nt xt BPF H f 0 ) ( הינו למעשה, אוסף של תתי ערוצים אשר פועלים במקביל ולכן הקיבול הינו סכום הקיבולים. תחת ההנחה שהערוץ משתנה מספיק לאט בתדר, נוכל בכל דיפרנציאל תדר לכפול בקבוע. הספק הסיגנל בתת ערוץ הוא: ) (. )ההכפלה ב- 2 נובעת מהתחשבות בתדר חיובי ושלילי BPF סימטרי(. הספק הרעש הוא: ) (. 32

S C Blog 2(1 ) N מתוך נוסחת הקיבול לערוץ - AWGN לכן הקיבול של כל תת ערוץ: 4 5 4 5 כאשר שואף לאפס:. / (2.2.1). WSS בהספק: ) ( קיבול זה מושג ע"י ) ( גאוסי המקרה הדיסקרטי נתון ערוץ דיסקרטי ובו רעש גאוסי חיבורי: n k x k Hz מ א גאוסי קומפלקסי 4 5, - (2.2.2) אם גם וגם תהליכים לבנים אז: n n jn כאשר c s כאשר P x הינו הספק הסיגנל. הספק הרעש הינו N 0 כיוון שמדובר במקרה הקומפלקסי, כלומר: N0. 2 הספטקרום של כ"א מן הרכיבים )הממשי והמדומה( הינו תחת הנחה כי כל דגימה נושאת סימבול:. / (2.2.3) 33

דוגמאות: 1. נבחן מהו הפסד הקיבול הנובע מערוץ הבא: H f A ערוץ שטוח להשוואה 1 W f בהשוואה לערוץ שטוח באותו רוחב סרט. נניח אות שידור בעל ספטקרום ספקטרום לבן וכן רעש לבן ומנורמל לאותו הספק במקלט. בכניסת המקלט נמצא את A כדי להגיע לאותו הספק במקלט: הקיבול עבור הערוץ השטוח: הקיבול עבור ) ( הנתון: 4 5 תחת הנחת SNR גבוה: 4 5 סה"כ קיבול הערוץ H(f) נמוך מהערוץ השטוח ב- 1.3-= bit/hz 34

הדרוש SNR עבור קצב של -, מהו ה-,בכל אחד מן המקרים.2 הבאים: א. ערוץ שטוח ב. ערוץ + * )זהו ערוץ.Notch באיזה תדר הערוץ מתאפס?( עבור הקצב הנתון בשאלה, מתקיים: א. עבור ערוץ שטוח: אם נבחר הפתרון: ב. בערוץ + * נפתור את המשוואה )פתרון נומרי( ( ) 2.3.1 הקצאת הספק בערוץ Pouring Water נתון אילוץ על הספק השידור הכולל )ולא על צפיפות ההספק!!(: ) ( מהו הספקטרום האופטימלי ) ( לשידור בערוץ H(f) תחת אילוף על הספק השידור הכולל? פתרון: בעזרת כופלי לגראנג' מתקבל הפתרון: { אם חיובי אחרת )2.2.4( כאשר L נקבע כך שיתקיים: ) ( 35

אילוסטרציה: S n 2 H L " P S X f כלומר, הפתרון שקול ל"מזיגת מים" אל כלי קיבול. f 36

2.4 מקלט אופטימלי לערוץ AWGN עם ISI מבנה המשדר: ht () רעש לבן. אם הרעש אינו לבן נוכל למצוא מסנן מלבין ולשרטט ערוץ עם מסנן שקול חדש - zt () מבנה המקלט: מודל הערוץ: ) ( ) (. קריטריון min Euclidean distance מתקבל מ- ) ( המקלט צריך לבחור את הוקטור שיביא למקסימום את הביטוי * [ ]+ Probability Metric PM * 37

נגדיר:. הוא מוצא MF שכניסתו ) (.. הוא מוצא MF שכניסתו ) ( הוא למעשה פונקציית האוטוקורלציה הדגומה של ) ( נציב את הביטויים לעיל בביטוי עבור :PM ( ) אם נציב את ) ( ב ) ( נקבל: )2.1.3( MF )באופן כללי זהו רעש צבעוני(. כאשר הינן דגימות הרעש לאחר מעבר הרעש הלבן דרך ה- המודל הדיסקרטי השקול: S ( f ) S ( f ) H( f ) N H( f ) ww zz 2 2 0 פונקציית האוטוקורלציה של הרעש לפני הדוגם )רציף(: R ( ) N h* h ( ) N x N R ww * 0 0 0 hh לאחר הדוגם: R [ k] E[ w w ] E[ w(( n k) T) w ( nt )] R ( kt ) N h* h N x( kt ) N x * * * ww nk n ww 0 0 0 k 38

Whitened Matched Filter (WMF) 2.4.1 המודל הדיסקרטי שקיבלנו מייצר סטטיסטיקה מספקת לבניית המקלט, אך הוא אינו נ חו צבוע )ספקטרום הרעש אינו לבן(. כי הרעש rt נמצא מסנן מלבין B(z) כך שבמוצאו נקבל רעש לבן. I n ht MF t h* BZ Z t 1 T 2.4.2 פירוק ספקטראלי Factorization( (Spectral והקשר ל- MF משפט: כל פונקציית תמסורת רציונאלית ) ( ללא קטבים על מעגל היחידה, המקיימת: ) ( )כלומר חיובית וממשים על מעגל היחידה הערה: זו בדיוק ההגדרה לפונקציית ספקטרום( ניתנת לפירוק יחיד באופן הבא:. / )2.3.2( minimum phase וסיבתית. maximum phase ואנטי סיבתית. כאשר ) ( כאשר /. 2 3 )2.3.3( )2.1.1( ציור 11 דיאגרמת אפסים, קטבים ומעגל היחידה. נאסוף את הקטבים והאפסים שבתוך מעגל היחידה, וחצי מהאפסים על מעגל היחידה לתוך ) ( 39

2 L ישנן אפשרויות לבחור את.M(z) מה הקשר בין הבחירות השונות מבחינת האמפליטודה והפאזה? 2 הערה: לחילופין, עבור פונקצייה התנאי לקיום הפירוק הינו תנאי מתוך הממשיות: מסקנה: אם הוא אפס גם הוא אפס ואם ρ הוא קוטב גם ניתן להראות כי אם האפסים על מעגל היחידה אינם בזוגות אז ) ( הוא קוטב. לא חיובית )ראה בספר 3.) פיתוח מקוצר. הוא גודל שנדרש כדי שכל הקטבים והאפסים ב ) ( יהיו מהצורה אם מתקבל אז { }. אם נציב את ) ( כל הגורמים מהצורה יתנו 1 וישאר רק כפי שראינו בתחתית ע"מ 38, הרעש במוצא ה- MF אינו לבן. נמצא את המסנן המלבין:. נבצע התמרת Z ל. נניח שאורך הערוץ הוא L כלומר = 0 עבור L< X z F z F z F z F z 2 * * * * לפי משפט הפירוק הספקטראלי: ) (1/ ) ( ) (1/ ) ( ρ ρ ול ) ( ρ יש ל ) ( אפסים. לכן ל ) ( יש L אפסים בתוך מעגל היחידה: יש מחוץ למעגל היחידה. L אפסים ב: 2 3 הוכחה על יחידות הפירוק ופיתוח נמצאת בספר: Digital Communication/Lee& Messerschmitt עמודים 47-49 הוכחה ש ) ( לא חיובית נמצאת בספר: Digital Communication/Lee& Messerschmitt 40

דוגמא: ניתן לוודא ש ) ( ממשי וחיובי. 33 20i 20 i 4 4 ציור X(z) 11 נבצע פירוק ספקטראלי ל- :X(z) נאסוף את האפסים בתוך מעגל היחידה ל ) ( אפס כפול. ) ( לכאורה אנטי סיבתי אך בעזרת השהייה מתאימה נוכל להפוך אותו לסיבתי: בצורה משלימה, החלק השני יצא אנטי סיבתי: f k 4 i 1 4 ציור 12 מקדמי הפירוק הספקטרלי 41

הקשר בין הפירוק הספקטרלי לבין :MF יהי ערוץ + * המסנן המתואם לערוץ זה: + * נמצא את הקשר במישור Z: Z, - 4 5.. /, X z F z F z * * (1/ ) לכן מתוך הפירוק הספקטרלי - הוא MF של ) ( חשוב! יש להבדיל בין התוצאה הזו לבין ה MF האנלוגי האמיתי ששמנו במערכת. האם נכון לדגום את ) ( ולקבל את? לא,אבל בתור קירוב זה יעבוד בתנאי ש- ) ( הינו.min phase מסקנה: נבחר את המסנן הבא בתור מסנן מלבין FilterWhitening )2.3.5( נראה כי ספקטרום הרעש במוצא המסנן המלבין הינו לבן: ישנו מס' אפשרויות רב לבחירת מסנן מלבין. נראה כי בחירה זו עדיפה כיוון שהיא יוצרת ערוץ דיסקרטי שקול שהינו.min phase מהו המסלול שעובר האות? I n Xz 1 1 F * z * Fz ציור 11 מודל למסנן סיבתי ומינימום פאזה 42

) ( פילטר סיבתי וגם.min phase כלומר המודל הדיסקרטי השקול )יחד עם המסנן המלבין(: )2.1..( כאשר הינו רעש לבן גאוסי קומפלקסי. המערכת הכוללת MF ולאחריו מסנן מלבין נקראת (WMF).Whitening Matched Filter המודל שנוצר לאחר שימוש ב WMF הוא של ערוץ דיסקרטי הכולל מסנן min phase סיבתי ותוספת רעש לבן. למסנן min phase יש את התכונה החשובה הבאה שהיא בעל חשיבות פרקטית כי היא יוצרת ערוץ קצר. min phase max partial energy מכל תגובות ההלם הזהות מבחינת אמפליטודה, ערוץ min phase הינו בעל האנרגיה החלקית n 2 i, i0 f n natural המקסימלית, כלומר מרבית האנרגיה מרוכזת ב- taps הראשונים: 43

2.5 פתרון אופטימלי לבעיית האקווליזציה נתונה המערכת המשלבת קוד הבאה: k d n Code I k f k v k ציור 12 מערכת מקודדת C הוא ספר קוד A הוא קונסטלציה )סט של נקודות במישור הקומפלקסי( ביטי האינפורמציה הם הסימבולים שמשודרים בערוץ היא סדרת סימבולים מתוך ספר הקוד., - מכיוון שיש קשר חד חד ערכי בין הסימבולים לביטים, מציאת סדרת הסימבולים שקולה למציאת סדרת הביטים. הבעיה: מצא עבור כל ביט את הפתרון בסבירות מירבית :(MAP) ( ) פתרונות תת אופטימליים: מצא את מילת הקוד בעלת הסבירות המירבית Joint channel code MLSE ( ) ( ) ( ).1 ) הסתברויות אפריוריות שוות הכוונה לאיזה ארגומנט ממקסם ולא לערך המקסימום, כנ"ל ל )בפרק זה בסימון ) ( את עבור רעש גאוסי מתחבר נוכל לחשב במקום ) ( בהזנחת הקצוות של הבלוק: N- אורך מילת הקוד בסימבולים גם בעיה זו בד"כ לא פרקטית. 44

נפריד בין בעיית פענוח הערוץ לפענוח הקוד. - מערכת משורשרת.2 v k " " Î n ציור 13 שרשור מפענח קוד ומפענח ערוץ אפשרויות למפענח ערוץ: ( ) 2.1 מפענח MAP פר סימבול: או MAP פר סדרה )פחות מסובך(: ( ) מפענח הקוד מקבל החלטות על הסימבולים ממפענח הערוץ וינסה לתקן את השגיאות. פענוח זה נקרא.Hard Decoding מחשב הסתברויות אפוסטריוריות (APP) Apostriori Probability Processor כאן מפענח הערוץ מחשב את ) ( כלומר את ההסתברות של כל אחד מהסימבולים האפשריים. במערכת משורשרת המפענח מניח שהסימבולים עוברים ערוץ חסר זכרון. כלומר המפענח מחשב את: ( ) ( ) 2.2 ( ) ( ) לכן ) ( זה מה שהקוד דורש לפענוח אופטימלי בתנאים של ערוץ חסר זכרון )מבחינת ה-.)Decoder כדי לפרק את התלויות בין הסימבולים יש להשתמש באינטרליבר בין הקוד למודולטור. פענוח זה נקרא Soft Decoding מכיוון שהמפענח מקבל מידע על ההסתברויות של הסימבולים ולא החלטות מה הם היו. Interlever פעולה אשר מערבבת את הסימבולים כך שכאלה שהיו צמודים בכניסתה, רחוקים במוצאה. בעזרת Interlever ההנחה של ערוץ חסר זיכרון נכונה יחסית. 45

2.6 משוון )MLSE) Maximun Likelihood Sequence Estimation מציאת הסדרה בעלת הסבירות המירבית: 2.6.1 פענוח בעזרת Viterbi Algorithm בנוכחות )L ISI רכיבים מפריעים נניח אורך הערוץ, ללא ה- tap באפס, הינו L( קריטריון MLSE שקול להערכת המצב של מכונת המצבים הדיסקרטית הסופית. נבנה עקום טרליס אשר מתאר את הבעיה. טרליס מורכב ממצבים וענפים המחברים ביניהם: State S k (Branch) ציור 15 דוגמא למבנה טרליס הבעיה הכללית: מצא סדרה שמביאה למינימום מטריקה תנאים לפתרון בעיה של מציאת סדרה בעזרת אלגוריתם ויטרבי: כל הסדרות האפשריות בבעיה ורק הן קיימות כמסלולים בטרליס. ), כלומר תלויה אך ורק במצבים ) המטריקה מקיימת את התנאי שהתוספת בענף. יש ערך ידוע למצב הראשון והאחרון..1.2.3 46

אלגוריתם :Viterbi. בכל צעד k קיים בזכרון ) ( שעבורה עבור כל מצב הוא סדרת סימבולים. הוא מינימלי מבין כל הסדרות שמתחילות במצב עבור צעד 1+k, לכל מצב : ומסתיימת במצב נמצא את המצבים הדוגמא 2=k(. שיכולים להתחבר איתו בענף )במקרה של.1 0 S k 1 S k S k1 2 S k ציור 14 דוגמא למצבים בעבר הקשורים למצב עתידי בטרליס. / נמצא את המינימום מבין )2.1.3(.2 ( ) נעדכן את ) ( ואת נזכור לשלב הבא עבור כל )2.1.2(.1 בסיום: עבור המצב שמסיים את הטרליס, ה- survivor שלו הוא הפתרון. 47

2.6.2 בעיית האקווליזציה בצורת עקום Trellis הגדרה: עבור ערוץ באורך L, מצב הינו - L מס' המצבים הינו M כאשר 4=M( 4-PAM הינו גודל הא"ב/הקונסטלציה )למשל M דוגמא עבור קונסטלציית 4-PAM,וערוץ שאורכו 2=L נקבל את המצבים: סה"כ 16 מצבים. הגדרת מטריקה מצטברת )2.1.1( מצב התחלתי הכל אפס )נניח ששודר אפס לפני התחלת הבלוק( מצב סופי - הכל אפס אם נדרוש שבסוף הבלוק ישודרו ו- L אפסים. המצבים בהתחלה ובסוף שונים מהרגיל במקרה זה. דוגמא נבנה טרליס רגיל, אך נמחק מצבים שבהם סימבולים שאינם בבלוק שונים מאפס. 48

Fractional Spaced Equalizer (FSE) 2.6.3 דגימה בקצב גבוה מקצב הסימבולים פתרון MLSE עבור fractional sampling נניח שלא נשתמש במודל,WMF אך נדגום מספיק מהר כדי לקיים את משפט הדגימה )תנאי ניקוויסט לדגימה תדר הדגימה הינו לפחות פעמיים מרוחב הסרט של האות אשר נדגם(. xt () ht wt y k n t f s ציור 16 מערכת תקשורת כאשר תדר הדגימה: )קצב הסימבולים הינו T/1(. FT 1 האות המשודר הינו חסום סרט, כלומר )לפחות(: x( t) X ( f ) 0, f T נניח שדגימות הרעש בלתי תלויות )רעש לבן( נקבל ערוץ דגום: הערוץ השקול: Ik 2 h k y k ציור 15 הערוץ האקוויוולנטי עבור כל סימבול נקבל שתי דגימות ולכן: )2.1.1( נוכל להפעיל MLSE על הדגימות ולקבל ביצועים אופטימליים מתוך העובדה כי עפ"י משפט הדגימה, אם נעמוד בקריטריון,Nyquist כל האינפורמציה קיימת בדגימות, לא נסבול מ-.Aliasing w f B 1 T ציור 16 הסיגנל והמסנן 2 T 49

2.6.4 חסמים להסתברות השגיאה למשוון MLSE נתחיל מפיתוח חסם כללי לעיוות ממוצע של גלאי MLSE על בעיה כלשהי המיוצגת ע"י טרליס. הפתרון הינו ע"י אלגוריתם ויטרבי. * חסם כללי נניח מערכת המתוארת ע"י דיאגרמת מצבים * סיכום פרק מ- Omura כאשר הם כניסות מצבים מספר הענפים היוצאים ממצב מספר המצבים מוצא המערכת: ) ( נניח ש הם i.i.d בעלי הסתברות ) (. מוצא המערכת עובר דרך ערוץ רועש וחסר זכרון - המקלט משתמש באלגוריתם ויטרבי עם branch metric ( ) עבור MLSE המטריקות הינן )) ( ) ( ) (( MSE שקול למינימיזציה של AWGN עבור ערוץ MLSE אנו מעוניינים לחשב עיוות ממוצע בתלות באפליקציה. - מדד עיוות עבור הבחירה של המקלט בענף במקום הנכון )ששודר(. (( ) ) { אחרת (( ) ) עבור BER 50

2.6.5 ניתוח הסתברות השגיאה עבור משוון MLSE Error event הגדרה - התנאי : ( ) יכול לקרות רק כאשר האלגוריתם פסל מסלול אשר כולל את. s n s n1 sˆ i s i sˆ j s j ŝ n ˆ 1 s n ציור ERROR EVENT 41 (( ) ) ( ) כאשר: כדי שזה יקרה צריך שיתקיים: j נקודת סיום i יוגדר ע"י נקודת התחלה error event. נסמן ב -, את סדרת המצבים מ ל נסמן ב ) ( את כל סט אירועי השגיאה האפשריים מ ל עיוות ממוצע { (( ) ) } (( ) ) (, -, -) ( ). כאשר -), -, ( היא ההסתברות של -, ההסתברות לשליחת הסדרה -, היא :, מטריקה גדולה יותר משל -, (, -) כאשר ) ( ההסתברות להיות במצב. עתה נמצע ע"פ כל הסדרות בין ל : { (( ) ) } (, -) (( ) ) (, -, -) 51

) ( אוסף הזוגות של סדרות שמתמזגות רק ב ו. מכיוון שכל הגורמים time invariant נוכל לשנות את סדר הסכימה: * (( ) )+ (, -) (, -, -) מקרה פרטי: BER של MLSE-Equalizer נניח שהסדרה הנשלחת היא: והסדרה הנבדקת היא: * + כל מצב הוא אוסף של סדרות, -, - לכן נקבל שאם יש לנו error event { } { } זה שקול לשתי סדרות (, -, -) - מרחק אוקלידי בין הסדרות המשודרות. וריאנס הרעש בכ"א מהמימדים. ( ) כאשר הוא מוצא הערוץ ללא רעש עבור הכניסה בהתאמה. כלומר, )3.4( אם נסמן: ונקבל:. כלומר, הוא מוצא הערוץ שבכניסתו ( ) (, - ). /, - או, - )3.5( - מספר הביטים השגויים בסימבול עם שגיאה. 52

אם יש שגיאה, מה ההסתברות שנשלח סימבול מתאים?, לדוגמא, נניח 4=M,.4PAM אם ) ( לא יכול להיות ששודר. אז אם המרווח בין נקודות קונסטלציה הוא ( ). נבחן מספר אירועי שגיאה אפשריים )מתוך (. דוגמא: נניח,2PAM והערוץ הוא + * נניח כלומר משדרים..1 * + * + ( ).2 * + * + ( ).1 * + * + האם המאורע הבא הינו מאורע שגיאה? * +.1 קירוב ל SNR גבוה:/. 53

Matched Filter Bound (MFB) 2.6.6.)ISI הינו סיכוי השגיאה של מקלט עבור סימבול אחד המשודר בערוץ )ולכן אין MFB הגדרה - למרות שמשודר סימבול אחד המקלט אוסף את הסיגנל המתקבל מכמה דגימות )או מזמן T במקרה הרציף(. a n h 0 a n h 1 a n h 2 y0 y1 y2 המקלט האופטימלי הוא ה.MF נניח: ביצועי MF הם: אנרגית הסימבול עבור שידור של BPSK ( ) ה MFB שקול לערוץ AWGN עם אותה אנרגיית סימבולים. נבחן שנית את הקירוב ל SNR גבוה: 54

תרגום הנוסחא ל- נניח שודרו סימבולים באנרגיה: בכניסת המקלט, - בכניסת המקלט נקבל: כמו כן, ( ) ( ) דוגמא: בערוץ + * וסימבולים מקבלים קיבלנו שבקירוב, ה MLSE לא מפסיד יחסית ל.MSE 55

Linear Equalization 2.7 הפתרון הליאנרי הינו פתרון תת-אופטימלי לבעיית ה- ISI אך סיבוכיותו הינה לינארית ב- L לעומת MLSE בו הסיבוכיות אקספוננציאלית בו. מבנה האקולייזר: FIR r t WMF v k c k Î k ציור 17 אקוליזר לינארי בעזרת WMF השימוש ב WMF הוא נוח תיאורטית אבל מעשית נרצה לממש רק מסנן אחד r t 1 T wk ציור 18 אקוליזר לינארי בעזרת מסנן אנלוגי אידיאלית, המסנן האנלוגי הוא MF ואז הוא איחוד של WF ו. מעשית אין לנו MF ולכן הערוץ הדגום יהיה כאשר ) ( הוא האיחוד של הערוץ, מסנן השידור ומסנן הקליטה. הנחה: הרעש לבן. על-מנת לפתח בצורה נוחה את המשוונים נעבוד עם מודל ה WMF גם אם המימוש הסופי לא יכיל WMF נפרד, כלומר תמיד נעבוד עם מודל הערוץ הדיסקרטי: והאקולייזר: הערה: המסנן אינו סיבתי רק במודל המתמטי. במציאות נכניס השהייה מתאימה. 56

שרשור הערוץ והאקולייזר הינו המסנן השקול: הנחה: אורך המשוון אינסופי. שיורי רעש )2...3 ( נניח.(scaling) Infinite Zero Forcing Linear Eq. 2.7.1 קריטריון Peak Distortion בפתרון זה נסלק לחלוטין את ה-.ISI הדבר אפשרי כיוון שאין הגבלה על מס' מקדמי המשוון. עבור משוון באורך סופי נשאר עם ISI שיורי מסוים. Peak Distortion המקרה הגרוע ביותר של ה- ISI במוצא המשוון. נסמן מקרה זה: D( c) q c f n j n j n n j n0 n0 ונבצע מינימיזציה. עבור משוון באורך אינסופי ניתן לבחור את מקדמי המסנן כך שמתקבל : )D (c 0, - ע"י טרנספורם Z, )2.6.2( פתרון זה נקרא.Zero Forcing? ZF + WMF. / נבחן מהו המסנן השקול של )2.6.3( 57

התגובה להלם תתקבל מהתמרת Z הפוכה ρ ρ הינו בעל אפסים בתוך מעגל היחידה: ρ ומחוץ למעגל היחידה: אם ל ) ( אין אפסים על מעגל היחידה, אז ל לא יהיו קטבים על מעגל היחידה לכן ROC כולל את מעגל היחידה. נבצע התמרת Z הפוכה על גבי מעגל היחידה, כלומר התמרת פורייה הפוכה. 2.7.2 חישוב SNR במוצא המשוון, - הנחה: הספק האות המשודר מנורמל ליחידה כמו-כן נבצע Scaling כך ש- לכן, כאשר - הספק הרעש במוצא האקוליזר. המודל השקול: * ציור 19 אקולייזר לינארי j j S ( e ) N X ( e ) : ww 0 w k ספקטרום הרעש j j 1 N0 ספקטרום הרעש במוצא )סימון :)* Snn( e ) Sww( e ) 2 j j X ( e ) X ( e ) הערה: j ) Xe ( פונקציית ספקטרום כיוון שזו התמרת פורייה של פונקציית האוטוקורלציה של הערוץ. 2 1 1 j N0 n הספק הרעש במוצא: Rnn[0] Snn( e ) d d j 2 2 Xe אורך אקווליזר אינסופי [ ] )2.6.4( 58

: הקשר בין ) ( ל ) (. הם דגימות של האוטו קורלציה של ) ( לכן: הם דגימות של ) ( *כאשר מציין התמרת תדר במישור הרציף. X H 2 לכן במישור הרציף מתקיים: עבור ערוץ אידיאלי ו- Pulse Shape מתואם כך שמתקיים,ISI=0 מתקיים קריטריון ניקוויסט ולכן: יחד עם סילוק ה- ISI פתרון ה- LE-ZF גורם להעצמת הרעש. אם למשל הערוץ מתאפס בתדר מסוים, המשוון ינסה לפצות על כך בהגבר אינסופי בתדר, כלומר הספק הרעש ישאף לאינסוף. אקולייזר באורך סופי: אין אפשרות לבטל את ה-,ISI אך אפשר להביא למינימום את קריטריון Peak distortion אין פתרון סגור לבעיה זו. 59

2.7.3 קריטריון ) Minimum Mean Square Error (MMSE נסמן את השגיאה :, וכן את השגיאה הריבועית הממוצעת (שר"מ) - : נחפש פתרון / מקדמי משוון } {c j שיביאו למינימום את השר"מ ( )J }) copt arg min{j (c C פתרון זה מתחשב הן ברעש והן ב ISI - השיורי ומבצע משקול שלהם לפי השפעתם. 2.7.4 Infinite MMSE Linear Eq. פתרון עפ"י מסנן ( Wiener שאינו סיבתי) פתרון עפ"י מסנן.Wiener תזכורת : שיערוך לינארי אופטימלי בקריטריון MSE של אות ) ( x t מתוך אות ) ( הוא : H ) ( ) ( y t ) ( שגיאת השערוך : במקרה הרציף : ) ( ) ( ) ( ) ( נוסחת השגיאה היא ( )2.6.5 5 ) ( ) ( ) ( במקרה הבדיד : נחליף את הספקטרום ) ( בספקטרום של סדרה בדידה ) נוסחת השגיאה היא עתה ( )2.6.6 60 5 ) ( ) ( 4 ( וכל הנוסחאות תקפות. ) ( 4

נמצא את מקדמי המשוון - :C(z) k I k f k v k ck ציור 21 אקולייזר לינארי l עקרון האורתוגונליות מתוך תכונת האורתוגונליות של השגיאה במוצא משערך Best Linear ( BLE )Estimator למדידות הרלוונטיות או לכל פונקצייה לינארית שלהן: *, E[ ekvk l ] 0 * E Ik c jvk j vk l 0 j j c E v v E I v * * j [ k j kl ] [ k kl ע"י העברת אגפים נקבל: ] n0 m0 n0 נסמן E s הספק הסיגנל המשודר ונניח סימבולים בת"ס זה בזה וברעש החיבורי. נבחן את כל אחת מן התוחלות בנפרד: L L * * * * E[ vk jvk l ] E fnik jn k j fmik lm k l n0 m0 L L f f E[ I I ] E[ ] L * * * n m k jn k lm k j f f E N E x N kl * n n jl s 0 lj s l j 0 lj lj E[ I v ] E I f I f E[ I I ] E f L L * * * * * * * k kl k n kln kl n k k ln s l n0 n0 P l לאחר ביצוע טרנספורם Z על שני האגפים: 61

C( z)[ F( z) F (1/ z ) E N ] F (1/ z ) E Cz Ce * * * * s 0 * * F (1/ z ) N F( z) F (1/ z ) E * * 0 s s נוכל לקבל את אותו הביטוי ישירות מהפיתוח של מסנן :Wiener j * j j * j j SIV ( e ) F ( e ) SI ( e ) F ( e ) j j j 2 SVV ( e ) SI ( e ) F( e ) N0 j 2 N0 Fe E s ניתן להבחין כי ההבדל בין תוצאה זו לתוצאה שיקבלנו ב- ZF-LE הינה האיבר המסומן. נבדוק את התוצאה עבור שני מקרי קצה: j 1 Ce j Fe ) 2 ( j Es F e ) N0 SNR גבוה ( זהו בדיוק פתרון,ZF-LE כיוון שכאשר ה- SNR גבוה עדיף להתמודד עם בעיית ה-.ISI j E * j s C e F e N 0 ) 2 ( j Es F e ) N0 SNR נמוך ( זהו המסנן המתואם )עד כדי כפל בקבוע(, כיוון שכאשר ה- SNR נמוך נרצה להתמודד עם בעיית הרעש האדטיבי. שגיאת המשוון: S () z S z S z S z S z C z S z Iv * * * * ee II IV (1/ ) II IV (1/ ) Svv() z 4 5 )2.6.8( פיתוח הביטוי לשגיאה: )נסמן את אנרגיית הסימבולים ב- E( s J E e E e I Iˆ E e I E e Iˆ 2 * * * [ k ] [ k ( k k ) ] [ k k ] [ k k ] * * * * * * [ k k ] [ k j k j ] [ k k ] j [ k k j ] j j E e I E e c v E e I c E e v Orthogonal E e I * [ k k] * * * E[ ek Ik ] E[ Ik c jvk j Ik ] Es c je[ vk jik ] j j E 1 c f s j j j 62

E 1 c f s j j j b c * f j 0 j j 0 j X ( z) IDTFT E s X ( e ) B( z) C( z) F( z) b0 d N0 2 j N0 X ( z) X ( e ) E E j E s X( e ) J (1 b0 ) Es 1 d 2 j N0 X( e ) E s s s לכן: :WMF נבחן את המקרה בו מתקבל ממודל מהו השילוב של המסנן המלבין )WF( והמשוון? 1 F * e j j F * e j 2 N Fe E 0 s 1 N E j 0 x e s ציור 21 שילוב של WF ואקולייזר 4 5 השגיאה: נוכל להציב: 63

נבחן את המקרה ללא :ISI נציב בביטוי השגיאה: ) ( ונקבל: מהו האקולייזר המתקבל ללא?ISI, - כלומר האקולייזר הוא רק הגבר :)gain( *במקרה זה זהו למעשה ניחות. כלומר המודל השקול המתקבל במקרה זה: 64

2.7.5 השוואה בין משוון בעל הטייה )Biased( וללא הטייה )Unbiased( הפתרון הנכון של MMSE לא מביא את נקודות הקונסטלציה למקום הנכון! [ ] זהו משערך מוטה estimator( :)biased נוכל לנקוט בשתי גישות: נביא את הקונסטלציה למקום הנכון ע"י הכפלה ב-. נשנה את ספי ההחלטה בהתאם לקונסטלציה החדשה שהתקבלה..1.2 נבחן את השגיאה המתקבלת: unbiased MMSE עבור biased MMSE עבור לכאורה: נראה כי המשערך המוטה השיג שר"מ קטנה יותר על חשבון ה- :SNR I I ˆk k k J E[ I Iˆ ]... E[[ I ](1 ) N 2 2 2 2 k k k d 1 J 0 J N d N0 1 E s 0 0 עבור רעש גדול הקטנת הרעש ע"י משמעותית יותר מהגדלת הפקטור השני. אך, האם הרווחנו ב?SNR ניתן לראות כי ה- SNR קטן ולכן הפסדנו. מסקנה: הקטנת הרעש ע"י האקולייזר אינה אמיתית, כיוון שהיא פוגעת בסיגנל. עלינו להשתמש בתיקון של הסיגנל ע"י gain במוצא האקולייזר, כלומר נקזז את אותו גורם ניחות. 65

:Zero Forcing דוגמא: נניח ערוץ + * נמצא משוון לינאיר עבור c k 1 2 3 עבור עבור אין פתרון. הפתרון הוא אנטי סיבתי: 1 3 1 1 1 2 66

Finite MMSE Liner Eq. 2.7.6 הנחה: המשוון אינו סיבתי מה המשמעות של? האקולייזר האמיתי חייב להיות סיבתי, אך הוא יחשב את v vk3 vk 2 k1 v k vk 1 v k 2 c 3 c 2 c 1 c 0 c 1 c 2 Î k ציור 22 מימוש האוקולייזר ע"י shift register [ ] (2.6.9) מינימיזציה של MSE תתקבל מתוך עקרון אורתוגונאליות השגיאה: MMSE אינסופי: נסמן: נחזור על הפיתוח שנעשה בפיתוח משוון [ ] [( )] 0. / 1, - [ ] 67

, - [ ] כאשר: נציב: 8 אחרת [( ) ( )] את כל סט המשוואות נוח לרשום בצורה מטריצית: והפתרון הוא: v { v,..., v } kk kk 1 2 למעשה זו בעיית שערוך מ"א I k מתוך וקטור אקראי של מדידות הפתרון מתקבל ישירות מתוך :Wiener )2.6.10(. למעשה,, שגיאת השערוך:, - )2.6.11( 68

דוגמא לחישוב SNR נתון הערוץ השקול הבא: נניח: ) (, - חישוב האינטגרל נותן: עבור נקבל: נשווה ל נקבל ירידה משמעותית בביצועים, אבל רק ב SNR גבוה. נבצע השוואה בקיבול לפתרון האופטימלי: הפסד הקיבול אפילו ב הוא רק!, 2.3dB כלומר כדי להעביר את אותו הקצב נדרש לעלות את ה SNR ב.2.3dB, ועם ISI במקלט אופטימלי נדרש.17.2dB בלי ISI נדרש לעומת זאת במקלט הלינארי יש צורך ב.)ISI שנבנה לערוץ חסר Decoder כדי להגיע ל 15dB במוצאו )ואז להפעיל 69

Decision Feedback Equalization (DFE) 2.8 מבנה המשוון: v k Feed- Forward Filter I ~ k Symbol Detector Iˆ k Feedback Filter ציור DFE 23 ה- Detector symbol הוא בעצם מעגל החלטה לכל קונסטלציה שהיא. הסימבולים המפוענחים מוזנים אל תוך משוב ומחוסרים מאלה המוזנים מ-.Feed-Forward Filter. B z b z b z תפקידו הינו לחזות 1 Nb 1 1... N b מסנן המשוב )FBF( נסמן: ) 1 ( Bz, כאשר: את ה- ISI הקיים בערוץ/בסיגנל ולבטל אותו. מסנן FFE נסמן: ()W. תפקידו להפוך את תגובת הערוץ למינימום פאזה וסיבתי. z אם הערוץ אינו סיבתי לא נוכל לבטל את ה- ISI. () Bz הינו מערכת מונית )כלומר, המקדם החופשי תמיד 1(. אם נסתכל על התגובה השקולה של הערוץ נראה שה- 1 נותן את הסימבול עצמו וכל יתר הרכיבים הינם בדיוק ה-.ISI )2.7.1( ביטוי מתמטי: W(z) הינו אנטי סיבתי בלבד וזאת מכיוון שאין צורך בחלק סיבתי. החלק הסיבתי מטופל כבר ע"י ה-.FBF 70

אפשר להרכיב את w ואת b לוקטור אחד : w k FF c k b k FB ציור 24 מקדמי ה DFE לא לטעות ולחשוב ש הוא פילטר אחד! אז נוכל לרשום את הביטוי המתמטי באופן הבא: )2.7.2( יתרונות ה- :DFE אם ההחלטות נכונות אפשר לבטל את ה ISI לחלוטין אם הערוץ סיבתי בלי לשלם בתוספת רעש )תמיד אפשר להזיז את הערוץ כך שיהיה סיבתי אבל אם ה Tap הראשונים קטנים אז נגדיל אותם ע"י הFFE (..feed forward filter ע"י ה- min phase+ אם הערוץ לא סיבתי אפשר להפוך אותו לסיבתי.Notch יפתור DFE לא בא על חשבון הגברת הרעש כך שה ISI ביטול ה- עבור ערוץ ארוך אבל קרוב ל min phase )רוב האנרגיה שלו נמצאת בהתחלה( האורך העיקרי של המסנן יהיה ב feedback ויש כאן יעילות חישובית ה f.b. עובד עם כניסת סימבולים שהיא מעט ביטים, כלומר כל מכפל יכפיל מעט ביטים עם המקדם. n ביטים Feed Forward Filter Feedback Filter 1bit for bpsk ציור 26 מבנה DFE גם אם הערוץ לא min phase אורך ה f.f הוא מקסימום אורך הערוץ. נניח ערוץ באורך L אז ב DFE יש f.f באורך L ו f.b באורך L לעומת זאת ב- L.E צריך פילטר באורך 2L עד 4L. בנוסף, קל יותר לממש DFE מבחינה חומרתית שכן צריך להכפיל רק ביט אחד בכל לולאת.FB 71

Infinite Zero Forcing DFE Equalizer 2.8.1 לאחר הפיכת הערוץ ל- min phase וסיבתי, כל ה- ISI נגרם מסימבולים שכבר קיימת לנו החלטה לגביהם, לכן אפשר לשערך את ה- ISI ולבטלו: התהליך: ציור 27 ZF DFE x k התגובה y ב k Pr ecursor ISI Postcursor ISI Cursor אחרי ה WF נקבל: f k 72

ניתן לקרוא ל WF בשם.precursor equalizer ול F(z)-1 feedback filter נקרא eq..postcursor ב- ZF DFE ה- feed forward מתלכד עם ה.WF הבחירה הזאת של FF מקנה 3 יתרונות: ביטול precursor )הפיכת הערוץ לסיבתי( הפיכת ערוץ ל min phase כך שב 0=t נקבל ערך מקסימלי מבין כל הערוצים עם אותה היענות אמפליטודה. הלבנת הרעש..1.2.3 הדמיון בין ZF-DFE לבין :ZF-LE DFE I k Fz Î k n k Fz1 LE I k Fz v k I ~ k n k Fz1 ( ) נוכיח שמבנה זה שקול ל- :ZF-LE *בהוכחה זו השתמשנו בפונקציית התמסורת של חוג סגור. מהו ההבדל? כוללים רעש, כלומר רעש מוכפל ב ) ( ומוגבר. Iˆk נקיים מרעש )כיוון שהם לאחר מעגל ההחלטה( עם סיכוי השגיאה נמוך. 73

ה. tap באפס שווה 1, כלומר : :Scaling הגדרה: תגובת ערוץ סיבתית תקרא monic אם ה- דוגמא: + * X z F z F z 2 * * (1/ ) תזכורת: עפ"י משפט הפירוק הספקטראלי - נקבע כך ש F(z) יהיה.monic 2 3 )2.7.2( ( ) על מנת שנגיע ל- gain של 1 בכניסת המעגל החלטה יש לבחור בתור WF את: ( ) כי אז: ) ( X z F z F z F z F z 2 * * * * (1/ ) (1/ ) F( z) F( z) ניתן לראות כי הקשר בין הפירוק בו השתמשנו קודם לזה הנוכחי הינו: כלומר יחסית לקודם אנו מחלקים ב ולכן הספק הרעש יהיה: ביצועי ה :ZF-DFE מכיוון שלסיגנל יש הגבר 1 עד לכניסת הגלאי, [ ] [ ] )2.7.3( - SNR קטן. כיוון שמתקיים 1 שימו לב: היא אנרגית הפולס המשודר, לא זה הנקלט! נבטא את ע"י H {. / } )2.7.1( וכל זאת בהנחה שאין שגיאות. 74

דוגמא: נתון הערוץ הבא: - היא אנרגיית הפולס - זמן הדעיכה של הפולס. חשבו את ה-.DFE פתרון: נחשב את האוטוקורלציה. T זמן הסימבול. נסמן, e כאשר T / ρ ומתקבלת האוטוקורלציה: נבצע התמרת Z: אפשר לזהות ש: ) ( )לא צריך לחשב את האינטגרל תזכורת: תהליך )AR(1) זוהי אנרגיית הסיגנל הנקלט,ונרצה לבטא את ה SNR כפונקציה של האנרגיה של סיגנל בכניסת המקלט לכן 75

WMF ללא שימוש במודל Zero Forcing DFE Eq. 2.8.2 נניח שנתון ערוץ דיסקרטי בעל רעש לבן אך לא מינימום פאזה. n k h k w k ציור 28 ערוץ דיסקרטי ZF-DFE דורש להפוך את הערוץ למינימום פאזה וסיבתי. כדי לא לקלקל את ה SNR )לא להנחית את הסיגנל ולא להגביר את הרעש( נדרוש ש W(z) יהיה.all pass בניית :W(z) מול כל אפס של H(z) מחוץ למעגל היחידה נשים קוטב ב w(z) ומול הקוטב ρ של W(z) נשים גם אפס ב כדי ש W(z) יהיה. all pass H z Wz Wz אפס לz H קוטב לz W Hz Wz 1 * ציור 29 קטבים מחוץ למעגל היחידה כדי ש W(z) יהיה יציב הוא צריך להיות אנטי סיבתי. )קטבים מחוץ למעגל היחידה( 76

Cioffi פתרון עפ"י Infinite MMSE DFE Eq. 2.8.3 הגדרת הבעיה: מבנה המערכת: ציור 29 מערכת תקשורת נרצה למצוא מסננים אופטימליים לפי קריטריון :MMSE 2 { wb} arg min E[ Ik Ik ] wb,, I כלומר הסימבולים פוענחו נכון. ˆk I k תחת ההנחה כי: פתרון: )עפ"י Cioffi ללא הוכחה( תחת ההנחה שהסימבולים הקודמים פוענחו ללא שגיאות. תזכורת: v k הינו מוצא מודל WMF השקול. S ( z) E S ( z) N E X ( z) N vv s hh 0 s 0 X(z)* הינו פונקציית האוטוקורלציה הדגומה של הערוץ. S z G z G z 2 * (1/ * ) vv עפ"י משפט הפירוק הספקטראלי: N exp log X ( e ) 1d 2 1 E s j 2 0 2 N0 )2.7..( כאשר, הפתרון האופטימלי ל ) ( הוא: W( z) G B( z) G ( z) 1 E s * * 2 (1/ z ) 77

ציור 31 הפתרון האופטימלי עבור SNR ששואף לאינסוף נקבל כי ) ( וזהו פתרון ה.ZF פיתוח השגיאה: e( z) I I Es See( z) N 2 k k 0 כלומר, השגיאה לבנה ובעלת הספק:. מכאן, זהו פתרון,biased כלומר, הוא לא מביא את הסיגנל לרמה הנכונה שלו. Unbiased MMSE DFE נבחן את ה gain של ה- עצמו: tap הראשון של התגובה של המערכת, כלומר ההגבר של הסימבול e( z) R( z) X ( z) G ( z) * * Shh( z) Es G( z) G(1/ z ) 1 * * 2 * * * * 2 (1/ ) (1/ ) (1/ ) * * 2 e( z) I I I Shh( z) Es G( z) G(1/ z ) G z G z G z I G N 0 * * 2 (1/ z ) Thermal Noise 78

G z G z S z E N * * 2 (1/ ) hh s 0 )2.7.7( במעבר האחרון השתמשנו בזהות: 1 G (1/ z ) * * כיוון ש- הוא מוני ואנטי סיבתי נקבל ש מושפע רק מ I פרט לראשון. k N0 Ik מכאן, Ik1 ISI Noise 2 N מרכיב ה ISI הוא יתר האיברים של (1/ ) 0 2 * * G z 0 1 N 2 1 כדי לבטל את ה bias נכפול בגורם לפני מעגל ההחלטה: 31 ביטול ה- BIAS מהו ה-?SNR נסמן ציור הוא ה- ISI והרעש ולכן הוא חס"ק עם. אחרי המכפלה ב נקבל: 4 5 79

)2.7.8( 2 0 1 3 )2.7.9( השוואה עם נוסחאת קיבול הערוץ טענה: אפשר לרשום הוכחה: נוסיף 1 ונוציא log ונקבל את נוסחאת קיבול הערוץ בצורה ( ) וזו אכן הנוסחא המוכרת. מסקנה: אם נשתמש באינטרליבר שיפזר את התלות הקיימת ב- ISI נוכל להשתמש בקוד לערוץ AWGN ומשוון DFE ולשדר בקצב של הקיבול עם BER שואף לאפס. המסקנה נכונה רק אם נדאג להחלטות נכונות ולכך שלא יהיו שגיאות. ה SNR בכניסה ל slicer הוא: נגדיר את הסיגנל הנכנס ל slicer להיות: נגדיר גם את ה SNR לפני המכפל : המוביל של.H(Z)A(z). מאחר ומתקיים כאשר הוא ה tap ברור שמקסימיזציה של מתקבל ע"י מינימיזציה של ה MSE שהוא: כעת נראה שאותה בחירה של הפילטרים FFE ו DFE שמביאים למקסימום את למקסימום את גם מביאים : 80

למה 1: נתונה המדידה ו כאשר חס"ק. מגדירים: אזי מתקיים: הוכחה: בוחרים כך ש- מגיע למינימום. הבחירה האופטימלית של תהיה מקדם ווינר: ואז מתקיים : למה 3: יהי קבוצת המקלטים שביציאתם מתקבל חס"ק. ו כאשר יהי המקלט שעבורו מתקבל מביא ל SNR מקסימלי גם תחת האילוץ הוכחה: המקסימלי עבור אופטימלי, אזי המקלט. יהי המקלט המביא ל מקסימלי עבור. אזי: 81

Finite MMSE DFE Eq. 2.8.4 נתון המודל הדיסקרטי הבא: כאשר, n k הינו רעש לבן. c { w... w, b,... b } T N 1 0 1 N 1 f b נבנה וקטור אחד אשר מורכב מ- : ו- u( k) { y... y, I,... I } T k N 1 k k1 kn 1 f b ונסמן את וקטור המדידות ממנו מתבצע השערוך: Ik u T ( k) כך שמתקיים: c הוא משערך לינארי של. פתרון עפ"י :Wiener R R uu Iu H E[ u u] H E[ u I] כאשר, אוטוקורלציה של : y קרוסקורלציה בין האיברים של הסימבולים בכניסה לבין הסיגנל שהתקבל y: 82

הערוץ האקוויוולנטי ב MMSE-DFE ציור MMSE DFE 32 הערוץ האקוויוולנטי שעובר הסיגנל עד ה מסנן Feedback הוא:, כלומר: ה- האופטימלי יהיה זה שיבטל את החלק הסיבתי של b k gk, k 0 1, k 0 0, k 0 ההפרעות ב ינבעו מ- ISI לא סיבתי, רעש תרמי ו- : bias תחת הנחה שאין שגיאות בסימבולים שפוענחו עד זה הנוכחי, אנטי סיבתי שגיאת הגבר ניתן לבטא את MSE בצורה:, - 83

פרק 2 טיפול בבעית ה- ISI במשדר Tomlinson Harashima Precoding 3 הנחת הבסיס בשימוש ב- DFE הייתה כי הסימבולים הקודמים לזה הנוכחי פוענחו נכון, כלומר ללא שגיאות. החסרון הגדול של DFE הינו התפשטות השגיאה כאשר סימבול מפוענח באופן שגוי. בפרק זה נציג שיטת פתרון לבעיה זו. פתרון THP מציע להעביר את המשוב מהמקלט אל המשדר וכך לטפל בבעית ה-.ISI המשדר שיודע את הסימבולים יוכל לקבל החלטות נכונות וכך נמנע מהתפשטות השגיאה. נבחן את יתרונותיה של השיטה על-פני שימוש DFE וכן את חסרונותיה העיקריים. THP ציור 33 g h w k k k נסמן את המסנן השקול: b k gk, k 0 1, k 0 0, k 0 ניתוח המערכת ללא רעש: בשלב זה נתעלם מפעולת הבלוק.Mod נבחר את בצורה זהה לזו שנבחרה עבור ה- :DFE. נניח ערוץ באורך L )כולל ה- tap ב- 0 ) לכן החלק הסיבתי של g נגמר ב 1-L 84

קיבלנו תוצאה זהה ל.DFE השוני היחיד הוא שה- ISI נובע מ. ולא מ יתרונה של מעכת זו הוא שהיא חסרת שגיאות, DFE" אידיאלי".? x k כיצד נגביל את האנרגיה של האות המשודר x Modulo בעיה זו נפתור ע"י פעול :Mod y y נבחר פרמטר M, פעולת ה mod היא: שלם x נוסיף את פעולת המודולו למערכת: ציור 34 פעולת המודולו יהיה סדרה של שלמים כך ש ובמקלט נקבל: יהיה תמיד בתחום /.. רעש נבצע גם במקלט פעולת מודולו, ונקבל: התנאי שזה יתקיים: רעש 85

כיצד נבחר את הפרמטר M בו נבצע פעולת?Mod ב- PAM נבחר את M להיות מחצית המרחק מעל הסימבול המקסימלי בקונסטלציה כך שנקבל שריג אחיד. תחת בחירה כזו הסיכוי לשגיאה עקב פעולת ה- Mod יהיה זהה לזה הרגיל בכל אחת מן הנקודות הפנימיות בקונסטלציה. בכל מקרה נקלקל מעט את הביצועים כיוון שעתה לא קיימות עוד נקודות שאינן תחומות בין שני ספי החלטה. בד"כ נבחר את M להיות פעמיים גודל הקונסטלציה. M 2 +3 M 4 +1 M8 +1-1 -1 M 2-3 ציור 35 מודולו לפי גודל הקונסטלציה 86

3.1 הפסדים ב- THP Modulo loss הסיגנלים בקצה הקונסטלציה "מתקפלים" עקב רעש:.1 py k M 2 M 2 y k ציור 36 קיפול הסיגנל הפסד זה הינו תלוי.SNR ב- SNR גבוה הסיכוי שהזנב יחצה את קו 2/M נמוך. לפיכך נעבוד עם קונסטלציות גדולות. Shaping loss יחסית למקור גאוסי, האות המשודר במערכת THP מתפלג בקירוב כמ"א אחיד.2 עפ"י תורת האינפורמציה עבור ערוץ,AWGN הפילוג שמשיג קיבול הינו גאוסי. לכן גם אם נתאמץ בקוד ובמודולציה לסימבולים עדיין נקבל בקירוב פילוג אחיד. לכן יווצר הפסד קיבול. ההפסד זניח ב SNR נמוך והולך ועולה עם ה SNR עד הסף של.1.54dB לשידור רגיל יש שיטות shaping שבהם יוצרים מקור קרוב לגאוסי. אפשר לשלב precoding עם.shaping הערה: אם בכניסה ל THP יש מ"א אחיד יצא ביציאה אחיד, אם לא אחיד בכניסה יהיה בקירוב אחיד במוצא. Power loss התחום הדינאמי של האות המשודר גדול מזה של האות המקורי ללא ריווח של הקונסטלציה. לפיכך ההספק עולה ללא רווח בהסתברות השגיאה..3 דוגמא: נניח שלפני ה THP יש,BPSK כלומר [ ] אחרי ה THP יש מ"א אחיד בין 2- ל 2+ )בערך( שידרנו 1.25dB חזק יותר בלי לקבל כלום בתמורה. ככל שהקונסטלציה גדולה יותר ההפסד קטן יותר. [ ] 87

טענה: מערכת THP אינה biased בקירוב ל- ISI גדול. הוכחה:, - עבור ISI גדול: הסבר: כש: יסמן את ה.ISI Pdf של : M 2 M I k 2 סה"כ מתקבל מ"א אחיד: M 2 M 2 מסקנה: הפילוג בסופו של דבר יוצא אחיד בכל מקרה ואינו תלוי ב- I. 88

פרק 4 שערון ערוץ, - Adaptive Equalization אלגוריתם LS שיטת Steepest Descent ואלגוריתם LMS עד כה הנחנו שמאפייני הערוץ כמו גם תגובת ההלם/התדר שלו ידועים למקלט. ברוב המקרים מאפייני הערוץ אינם ידועים א-פריורית ותגובתו אף משתנה בזמן. במקרה כזה יש צורך בבנית משוון מסתגל לתגובת הערוץ ואדפטיבי לשינויים בזמן או שערוך מתוך קבוצת ביטים ידועה מראש באופן לא אדפטיבי. שידור טיפוסי מחולק ל - bursts.)packets( אם הערוץ לא ידוע במקלט, ישנן שתי אפשרויות: " " Training LMS MLSE- - LE DFE LMS דורש את כדי לחשב את. Training Data שמות נוספים לביטים ידועים המשמשים לשערוך וסינכרון: midamble, pilot, preamble אם זה באמצע, לדוגמא: ב,gsm מבנה פקטה: tail 3 57 midamble 26 57 tail 89

4.1 שערוך ערוץ ואלגוריתם (LS) Least Squares פתרון בעיית LS לשערוך הערוץ: נבטא את הסיגנל הנקלט )ללא רעש( בצורה הבאה כאשר, - [ ] [ ].P+L סדרת סימבולים ידועים באורך m P אורך מנוצל ו- L תוספת לצורך המריחה של הערוץ. [ ] שערוך בשיטת Squares( :LS (Least הפתרון אם m סדרה אורתונורמלית אז ולכן, )שקול לקורלציה של y עם m(. פתרון ה MMSE הוא: )2.1.1 ( 90

Steepest Descent Method 4.2 הבעיה הינה אופטימיזציה של השר"מ, כאשר המשתנים הינם המקדמים של המשוון w מקדמי המסנן המשמש כאקולייזר ניתנים למציאה ע"י פתרון משוואת Wiener או הפיכת מטריצה. ניתן למצוא לבעיה גם פתרון איטרטיבי. נתחיל בניחוש של פתרון ומתקדמים צעד צעד לעבר הפתרון. באופן כללי: ציור 37 תוחלת השגיאה בריבוע הערוץ h לא ידוע ולכן אנו לא יודעים את -, נחליף בשערוך מתוך הסיגנל הנקלט. נתחיל את הפיתוח בהנחה שיש לנו את המידע על הערוץ. נניח משוון לינארי: 1 x 1 n Z Z... 1 Z w 0 w 1 w N1 y n e n d n ציור LE 38 91

.) -, וקטור מקדמי האקולייזר. -, ) ( כניסת הסיגנל )וקטור רלוונטי לחישוב J E e E d w E x n d w E x n x n w מוצא האקלוייזר ) ( הסיגנל המשודר. השגיאה. 2 2 T T T [ n ] [ n ] 2 [ n] [ ] (1) P R נכתוב ביטוי לשר"מ: פונקציית אוטוקורלציה: ] ) ( [ פונקציית קרוס-קורלציה: ] ) ( [ פונקצית המחיר שהוא: הינה Quadratic Function של מקדמי האקולייזר ויש לה מינימום גלובלי אחד, opt Rw P (2) הפתרון: הערה: בגזירת הביטוי השתמשנו בחוקי נגזרת למטריצות: כאשר A הינה מטריצה x וקטור. T x Ax T T Ax x ( A A ), A x x. R R T במקרה שלנו R הינה מטריצה סימטרית ולכן. במקום לפתור את (2) בצורה ישירה, נבצע חיפוש איטרטיבי שמתחיל מניחוש ) ( שיטת ה steepest-descent פירושה שכל צעד יעשה לכיוון שבו השיפוע גדול ביותר. הכיוון הזה הוא הגרדיאנט. ויתכנס ל נוסחאת העדכון תהיה: כאשר הוא: [ ] ו- הינו גודל הצעד. נגזור את (1) ונקבל: 92

. / ולכן התכנסות שיטת ה- Steepest descent opt Rw P נציב את הפתרון הסופי במשוואת הקידום. ( ) נסמן את שגיאת ההתכנסות: ) ( לכן: נבצע לכסון למטריצה R: - מטריצת ערכים עצמיים. וקטורים עצמיים. נגדיר: ) ( v '( k 1) ( I 2 ) v '( k) diagonal matrix לכן, קיבלנו סט של משוואות עדכון סקלריות בלתי תלויות: ) ( והפתרון: ) ( מהם התנאים להתכנסות( ( לאפס? לכל i כלומר, הערה: על-מנת לקבל התכנסות מהירה, נשאף לגודל צד כמה שיותר גדול ולכן במגבלות החסם 1 Max נבחר: Max 93

כלומר, נקבל שהאיבר ב- 'v המתאים ל- יתכנס הכי לאט ולפיכך קצב ההתכנסות הינו: min Max min min Max הערה: גודל הצעד קובע גם כמה רעש נכניס למערכת, ככל שהוא גדל נכניס יותר רעש. 94

Least Mean Squares (LMS) Algorithm 4.3 R ו P בפועל לא ידועים ולכן נדרש אלגוריתם שלא זקוק להם מפורשות. * הוצע ע"י.widrow * ה LMS הוא קירוב שבו נחליף את -, בשערוך שלו. נחליף במשוואות הקידום את 2 Ee [ n ב- ] ונקבל: *כאשר x n הינו כניסת המשוון ו- y n מוצאו. e d y n n n הסבר: ואות המידע אינו תלוי במקדמי המשוון. )1.3( לכן, לבסוף נקבל: באותו העקרון נממש LMS ל- DFE ולבעיות שערוך אחרות. יתרונות ה :LMS פשטות מימוש יציב ורובסטי מתכנס גם עם רעש צבעוני משמעותית פחות רגיש לשגיאות לעומת ה- DFE חסרונות:. )ניתן לקביעה גם ע"י סימולציה). התכנסות איטית צורך בידיעת כדי לכוון את 95

מבנה מערכת ה :LMS y n d n x n w - + e n LMS ציור 39 מבנה מערכת LMS הערה: כל משתנה שנכנס למשוון, מוכפל בשגיאה ומעדכן את המקדם המתאים לו בלבד, כלומר כל כניסה אחראית לעדכון המקדם במשוון אשר מתאים לה. LMS מנורמל כדי למנוע תלות של בעוצמת הסיגנל -, ניתן לנרמל את משוואת העדכון: )1.2( 96

פרק 5 Multiplexing Orthogonal Frequencey Division הרעיון של שיטת ה- FDM/OFDM הינו חלוקת הספקטרום הנתון למספר תתי-ערוצים. כל תת ערוץ, הינו בעל רוחב סרט קטן יותר. הדבר מקנה עמידות בפני ISI וכן בפני הפרעות צרות סרט. עקרון הפעולה הינו ריבוב בתדר פירוק ערוץ מידע אחד למס' תתי-ערוצים ושידור במקביל. בשיטה זו אין צורך כלל במשוון. M.C. / FDM 51. Mod Demod Mod Demod data S P Mod Demod P S Mod Demod ציור OFDM 41 בד"כ נשתמש בשיטה זו לריבוב מקורות שונים. במקרה זה נשתמש בה עבור מקור יחיד. S.C. M.C. יתרונות: עמידות בפני הפרעה צרת סרט אם נדע להתמודד עם ה erasure )ע"י קודים או ע"י משדר אדפטיבי(. עמידות בפני,M.P לא צריך equalizer אם הרוחב מספיק צר כ"א רואה ערוץ שטוח..erasure יתקבל כמו Notch חסרונות: בזבוז רוחב סרט עקב הצורך להפריד בין תדרים. 97

5.2 מאפנן )Modulator( OFDM שימוש בתדרים במרווח ופאזה מסונכרנת לחלוטין ימנע את הצורך ב.guard band מודולטור OFDM ציור OFDM 42 מודולטור מרווח התדר בין תתי ערוצים סמוכים נבחר ע"מ ליצור אורתוגונליות. ציור 43 סיגנל OFDM בזמן 98